CONJUNTOS
La teoría de
conjuntos es una rama de la matemática que estudia las características,
Propiedades y
relaciones en una colección de objetos.
Colección de objetos o elementos con alguna característica en común. Usualmente se denotan con las primeras letras del alfabeto en mayúsculas y pueden definirse por extensión o por comprensión.
Extensión: Al definir un conjunto por extensión, se
escriben todos y
cada
uno de los elementos que
forman
parte del conjunto. Ejemplo:
Comprensión: Al definir un conjunto por comprensión, se escribe
una
característica que identifique a
todos los
elementos del conjunto. Ejemplo:
{ x | x es un número par mayor que 0 y menor que
10
y se
lee A está contenido
en B .
Si A ⊂ B y B ⊂ C entonces A = B
Conjunto que
no tiene elementos. Se denota por ∅.
Conjunto que
contiene todos los elementos de una determinada situación y se denota por Ω .
Unión
La unión
de A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto formado por los elementos que
están en A o en B o en ambos.
Intersección
La
intersección de A y B, denotada por A ∩ B, es el conjunto formado por los elementos que
están en A y B a la vez.
Complemento
La
diferencia de A y B, denotada por A - B, es el conjunto formado por los elementos que
están en A pero no en B.
Conjuntos
disjuntos o mutuamente excluyentes
Se dice
que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si A ∩ B = ∅ , es decir, la intersección
de estos conjuntos es vacía, la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del
otro.
Diagramas de Venn
Representación
gráfica de las relaciones que puede haber en los elementos
De uno
o varios conjuntos. Si se grafican las interacciones explicadas
Anteriormente,
se tiene:
Experimentos
aleatorios
Las probabilidades pertenecen a una
rama de la matemática que estudia ciertos
experimentos denominados aleatorios.
Los experimentos aleatorios, osea, regidos
por el azar, son aquellos en que se verifican los dos puntos siguientes: se
pueden repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones, y antes de
realizar el experimento, se conocen todos los resultados posibles, pero no es
posible tener certeza de cual será el resultado del experimento.
Veamos el siguiente ejemplo: el lanzamiento de un dado.
El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio,
ya que, se cumplen los dos puntos mencionados anteriormente: el experimento lo
podemos repetir cuantas veces queramos en las mismas condiciones y conocemos
todos los resultados posibles, a pesar de no tener la certeza de qué resultados
obtendremos.
Todos los resultados posibles de nuestro experimento
son los siguientes:
– Que salga 1
– Que salga 2
– Que salga 3
– Que salga 4
– Que salga 5
– Que salga 6
– Que salga 2
– Que salga 3
– Que salga 4
– Que salga 5
– Que salga 6
A todos los resultados posibles de
un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral.
En nuestro ejemplo: E = {1, 2, 3 ,4, 5, 6}
Llamaremos evento o suceso a
todo subconjunto de un espacio muestral.
Ejemplos:
Obtener un número par: B = {2, 4, 6}
La probabilidad de ocurrencia de un evento
determinado, es decir, el nivel de certeza que tenemos de que ocurra dicho
suceso, es la razón entre el número de veces en que ocurrió dicho evento y el
número de repeticiones del experimento. A esta razón se le denomina frecuencia
relativa.
De acuerdo al valor de la frecuencia relativa podemos encontrar eventos seguros, posibles o probables e imposibles:
Evento seguro
Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 1.
Calculemos la probabilidad de obtener un número menor
que 7 al lanzar un dado. Supongamos que realizamos el experimento 10 veces:
Es seguro que obtendremos un número
menor que 7 al lanzar un dado cuantas veces queramos.
Evento Imposible
Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 0.
Obtengamos la probabilidad de obtener un 8 al lanzar
un dado 12 veces:
Es probable que al lanzar 12 veces un dado, obtengamos como resultado un número 3.
Repetición de un experimento
Mientras más veces repitamos un experimento, mejor
será la estimación de los resultados que obtendremos.
Por ejemplo, si lanzamos 100 veces una moneda, el
número de veces que obtengo cara será cercano a 50, o sea, la frecuencia
relativa será cercana a:
En nuestro experimento de lanzamiento de un dado, mientras más veces lo repitamos, veremos que la frecuencia relativa, es decir, la probabilidad de ocurrencia de obtener un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6 será cercana al 16,7%.
Si lanzamos el dado 600 veces, el número de veces que
obtendremos cada uno de los 6 posibles números será cercano a 100, por lo que
la frecuencia relativa será cercana a:
Tomado de. http://aprendeenlinea.udea.edu.co/boa/contenidos.php/8b077438024e1bddfbc83706da8049f2/138/1/contenido/contenido/conjuntos.html
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